Выполнение контрольных на заказ
Для граждан России, Украины, Беларуси
Заказать контрольную работу
Email:
Всегда на связи

Мы Вас не подведем!

Вы останетесь довольны!

Профессионализм Благодаря высокому опыту и превосходной квалификации наших авторов, Вы всегда останетесь довольными нашей работой.
Надежность Сделав заказ у нас однажды, у Вас более не возникнет вопроса, куда обратиться за помощью в следующий раз.

Для нас важен результат

Качество Мы гарантируем безупречное решение задач любой сложности. Электронное оформление, толковые объяснения, красивые рисунки.
Уважение Мы учитываем каждое Ваше требование и пожелание. Для нас главное не просто решить задачу, а помочь Вам ее сдать.

Учитесь вместе с нами!

Учебные материалы

Готовые работы На сайте представлена большая коллекция уже выполненных контрольных работ. Оплатив ее, решение Вы получите мгновенно.
Учебные материалы Если у Вас есть желание постичь азы математики или физики самостоятельно, то на нашем сайте Вы найдете всё необходимое.

Как с нами связаться? Легко!

Всё время на связи

Всегда на связи Если у Вас есть вопрос, предложение, желание сотрудничества, жалоба - обращайтесь прямо сейчас!
С нами можно связаться через Онлайн консультанта, по форме обратной связи, по ICQ, отправить сообщение на email, оставить отзыв.

Решение дифференциальных уравнений

Типы дифференциальных уравнений и методы их решения.

I. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка:

$y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+p_n(x)y=f(x)$

1) Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_ny=0$

Решение ищется в виде:

$y=c_1e^{\lambda_1x}+\cdots+c_ne^{\lambda_nx}$ , где λ_i - решение уравнения: $\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_n=0$ (1).

Пример (λ_i - все разные и действительные числа): y'''-y'=0 -> λ³-λ=0 -> λ₁=0; λ₂=1; λ₃=-1 => y=c₁+c₂e^x+c₃e^-x

Пример (λ_i - комплексные числа): y''+y=0 -> λ²+1=0 -> λ₁=i; λ₂=-i => y=c'₁e^ix+c'₂e^-ix=c₁cos(x)+c₂sin(x)

Пример (λ_i - совпадают): y''-2y'+y=0 -> λ²-2λ+1=0 -> λ₁=λ₂=1 => y=c₁e^x+c₂xe^x (пояснения: если уравнение (1) имеет корни кратности k, то решение находится в виде y=c₁e^λx+c₂xe^λx+...+c_kx^k-1e^λx)

2) Линейное однородное дифференциальное уравнение Эйлера:

$x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_ny=0$

Для решения делаем замену x=e^t , тогда:

dx/dt=e^t , dt/dx=e^-t , y'=dy/dx=dy/dt * e^-t , y''=dy'/dt * e^-t =(d²y/dt² - dy/dt)e^-2t и т.д.

После подстановки мы получаем однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Как решается - смотрите выше.

Пример: x²y''-3xy'+3y=0 -> x=e^t

e^2t(d²y/dt² - dy/dt)e^-2t-3e^t(dy/dt)e^-t+3y=0

d²y/dt² - dy/dt-3dy/dt+3y=0

y''_t-4y'_t+3y=0

y=c₁e^3t+c₂e^t=[x=e^t]=c₁x³+c₂x

3) Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

y''+p(x)y'+q(x)y=0

Избавиться от члена, содержащего первую производную

Делаем замену: y=α(x)z(x), где:

$\alpha(x)=e^{-\frac{1}{2}\int%20p(x)dx}$

Пример: y''+2y'/x-2y=0 здесь p(x)=2/x, q(x)=-2

Делаем замену y=α(x)z(x), где $\alpha(x)=e^{-\frac{1}{2}\int%20p(x)dx}=e^{-\frac{1}{2}\int%20\frac{2}{x}dx}=e^{-ln(x)}=\frac{1}{x}$

Итак, y=z(x)/x , y'=z'/x-z/x² , y''=z''/x-2z'/x²+2z/x³ . Подставляем в уравнение и упрощаем:

z''/x-2z'/x²+2z/x³+2/x(z'/x-z/x²)-2z/x=0 -> z''/x-2z/x=0 -> z''-2z=0

Получено однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение:

$z(x)=c_1e^{\sqrt{2}x}+c_2e^{-\sqrt{2}x}$ , учитывая y=α(x)z(x) получаем ответ:

$y(x)=\frac{c_1e^{\sqrt{2}x}}{x}+\frac{c_2e^{-\sqrt{2}x}}{x}$

Полезные ссылки:
Определение и классификация дифференциальных уравнений. Методы и способы решения диф. уравнений.

Раздел заполняется...

Мы создаём лучшее

Объявление

На сайте matematikam.ru помимо решений онлайн мы предлагаем услуги: выполнение контрольных работ на заказ. Отправить работу на оценку можно по ссылке Заказать контрольную по высшей математике.

Благодарность

Выражаем глубокую признательность за разработку и администрирование нашего сайта компании "Web-admin" - лидеру на рынке интернет-технологий.
Спасибо за полезное сотрудничество.

Наши контакты

Этот e-mail адрес защищен от спам-ботов, для его просмотра у Вас должен быть включен Javascript

Всегда на связи